算法-二分查找： 如何快速定位IP对应的省份地址

发表于 | 更新于 | 分类于 | 阅读次数：

前言


通过IP地址来查找IP归属地的功能，不知道那有没有用过？没用过也没关系，你现在就可以打开百度，在搜索框中随便输入一个IP地址，就会看到它的归属地。

这个功能并不复杂，它是通过维护一个很大的IP地址库来实现的。地址库汇总包括IP地址范围和归属地对应的关系。

当我们想要查询202.102.133.13这个IP地址的归属地时，我们就在地址库中搜索，发现这个IP地址落在[202.102.133.0, 202.102.133.255]这个地址范围内，那我们就可以将这个IP地址范围对应的归属地”山东东营市”显示给用户了。

现在我的问题是，在庞大的地址库中逐一对比IP地址所在的区间，是非常耗时的。假设我们有12万条这样的IP区间与归属地的对应关系，如何快速定位出一个IP地址的归属地呢？

是不是觉得比较难？不要紧，等学完今天的内容，你就会发现这个问题其实很简单。

上一节我讲了二分查找的原理，并且介绍了最简单的一种二分查找的代码实现。今天我们来讲几种二分查找的变形问题。

不知道你有没有听过这样一个说法：”十个二分九个错”。二分查找虽然原理极其简单，但是想要写出没有bug的二分查找并不容易。

康纳德·克努特(Donald E.Knuth) 在《计算机程序设计艺术》的第3卷《排序与查找》中说到”尽管第一个二分查找算法于1946年出现，然后第一个完全正确的二分查找算法实现直到1962年才出现”。

你可能会说，我们上一节学的二分查找的代码实现并不难写啊。那是因为上一节讲的只是二分查找的一种最简单的情况，在不存在重复元素的有序数组中，查找给定值的元素。最简单的二分查找写起来确实不难，但是，二分查找的变形问题就没有那么好写了。

二分查找的变形问题很多，我只选择几个典型的来讲解，其它你可以借助我今天讲的思路来分析。

四种常见的二分查找的变形问题：

  • 查找第一个值等于给定值的元素
  • 查找最后一个值等于给定值的元素
  • 查找第一个大于等于给定值的元素
  • 查找最后一个小于给定值的元素

需要特别说明一点，为了简化讲解，今天的内容，我都以数据是从小到大排列为前提，如果你要处理的数据是从大到小排列的，解决思路也是一样的。同时，我希望你最好先自己动手试着写一下这4个变形问题，然后再看看我的讲述，这样你就会对我说的”二分查找比较难写”有更加深刻的体会了。


变体1：查找第一个值等于给定值的元素


上一节中的二分查找是最简单的一种，即有序数据集合中不存在重复的数据，我们在其中查找值等于某个给定值的数据。如果我们将这个问题稍微修改下，有序数据集合中存在重复的数据，我们希望找到第一个值等于给定值的数据，止痒之前的二分查找代码还能工作吗？

比如下面这样一个有序数组，其中，a[5], a[6], a[7]的值都等于8，是重复的数据，我们希望找到第一个等于8的数据，也就是下标是5的元素。

如果我们用上一节课讲的二分查找的代码实现，首先拿8与区间的中间值a[4] 比较，8比6大，于是在下标5到9之间继续查找。下标5和9中间的位置是下标7，a[7]正好等于8，所以代码就返回了。

尽管a[7]也等于8，但它并不是我们想找的第一个等于8的元素，因为第一个值等于8的元素是下标为5的元素。我们上一节讲的二分查找代码就无法处理这种情况了。所以针对这个变形问题，我们可以稍微改造上一节的代码。

100个人写二分查找就会有100中写法。网上有很多关于变形二分查找的实现方法，有很多写的非常简洁，比如下面这个写法。但是，尽管简洁，理解起来却非常烧脑，也很容易写错。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
public binarySearch01(int[] a, int n, int value){
	int low = 0;
	int high = n-1;

	while(low <= high) {
		int mid = low + ((high-low)>>1);
		if(a[mid] > value){
			high = mid -1;
		}else {
			low = mid + 1;
		}
	}

	if (low < n && a[low] == value) {
		return low;
	}else{
		return -1;
	}
}

看完之后，你是不是觉得很不好理解？如果你只是死记硬背这个写法，我敢保证，过不了几天，你就会全部忘光，再让你写，90%的可能会写错。所以，我换了一种实现方法，你看看是不是更容易理解。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
public int binarySearch01(int[] a, int n, int value){
	int low=0;
	int high = n-1;

	while(low <= high) {
		int mid = low + ((high-low)>>1);
		if (a[mid] > value) {
			high = mid - 1;
		}else if (a[mid] < value) {
			low = mid + 1;			
		}else {
			if(a[mid] == 0 || a[mid-1] != value) {
				return mid;
			}else{
				high = mid - 1;
			}
		}
	}
	return -1;
}

我来稍微解释一下这段代码。a[mid] 跟要查找的value的大小关系有三种情况：大于、小于、等于。 对于a[mid]>value的情况，我们需要更新high=mid-1；对于a[mid]< value的情况，我们需要更新low=mid+1。这两点都好理解，那当a[mid]=value的时候该如何处理呢？

如果我们查找的是任意一个值等于给定值的元素，当a[mid]等于要查找的值时，a[mid]就是我们要查找的元素。但是如果我们要查找的是第一个值等于给定值的元素，当a[mid]等于要查找的值时，我们就需要确认一下这个元素是不是第一个定于给定值的元素。

我们重点看一下第12行代码。如果mid等于0，那这个元素已经是数组的第一个元素，那它肯定是我们要找的。如果mid不等于0，但a[mid]的前一个元素a[mid-1]不等于value，那也说明a[mid]就是我们要找的第一个值等于给定值的元素。

如果经过检查之后发现a[mid]前面的一个元素a[mid-1]也等于value，那说明此时的a[mid]肯定不是我们要找的第一个值等于给定值的元素。那我们就更新high=mid-1，因为我们要查找的元素肯定出现在[low. mid-1]之间。

对比上面的两段代码，是不是下面那种更好理解？实际上，很多人觉得变形的二分查找很难，主要原因是追求第一种那样完美、简洁的写法。而对于我们做工程开发的人来说，代码易读懂、没Bug，其实更重要。


变体2：查找最后一个值等于给定值的元素


前面的问题是查找第一个值等于给定值的元素，我现在把问题稍微修改一下，查找最后一个只等于给定值的元素，又该如何做呢？

如果你掌握了前面的写法，那这个问题你应该轻松就能解决，你可以先试着写一下，然后跟我写的对比一下。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
public int binarySearch02(int[] a, int n, int value){
	int low = 0;
	int high = n-1;
	while (low <= high) {
		int mid = low + ((high-low)>>1);
		if(a[mid]<value) {
			low = mid + 1;
		}else if (a[mid] > value){
			high = mid - 1;
		}else {
			if (mid == n-1 || a[mid + 1] != value ){
				return mid;
			}else {
				low = mid + 1;
			}
		}
	}
	return -1;
}

我们还是重点看一下11行代码。如果a[mid]已经是这个数组中最后一个元素了，那它肯定是我么要找的；如果a[mid+1]不等于value，那也说明a[mid]就是我们要找的最后一个值等于给定值的元素。

如果我们经过检查之后，发现a[mid]后面的一个元素a[mid+1]也等于value，那说明当前的元素并不是最后一个只等于给定值的元素，我们更新low=mid+1，因为要找的元素肯定在[mid+1, high]之间。


变体3：查找第一个大于等于给定值的元素


现在我们来看另一类变形问题。在有序数组中，查找第一个大于等于给定值的元素。比如数组中存储的这样一个序列：3,4,6,7,10.如果查找第一个大于等于5的元素，那就是6。

实际上，实现的思路跟上面两种变形问题的实现思路类似，代码写起来甚至更简洁。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
public int binarySearch03(int[] a, int n, int value){
	int low = 0;
	int high = n -1;
	while(low<=high){
		int mid = low + ((high - low) >> 1); 
		if(a[mid] >= value) {
			if (mid == 0 || a[mid-1] < value) {
			 	return mid;
			 }else {
			 	high = mid - 1;
			 }
		}else {
			low = mid + 1;
		}
	}
	return -1;
}

如果a[mid] 小于要查找的值value，那要查找的值肯定在[mid+1, high]之间，所以我们更新low = mid + 1。

对于a[mid] 大于等于给到你告知value的情况，我们要先看下这个a[mid]是不是我们要找的第一个值大于等于给定值的元素。如果a[mid]的前面已经没有元素，或者前面一个元素小于要查找的值value，那a[mid]就是我们要找的元素，这段逻辑对应的代码是第7行。

如果a[mid-1]也大于等于要查找的值value，那说明我们要查找的元素在[low, mid-1]之间，所以我们将high更新为mid-1。


变体3：查找最后一个值小于等于给定值的元素


现在，我们来看最后一种二分查找的变形问题，查找最后一个值小于等于给定值的元素。比如，数组中存储了这样一组数据：3,5,6,8,9,10。最后一个小于等于7的元素是6.是不是有点类似上面那一种？实际上实现思路也是类似的。

有了前面的基础，你完全可以自己写出来了，所以我就不详细分析了。你可以自己写一下然后对比一下。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
public int binarySearch04(int[] a, int n, int value){
	int low = 0;
	int high = n-1;
	while(low <= high) {
		int mid = low + ((high - low) >> 1); 
		if (a[mid] <= value) {
			if (mid == n-1 || a[mid + 1] > value) {
				return mid;
			}else {
				low = mid + 1;
			}
		}if (a[mid] > value) {
			high = mid - 1;
		}
	}
	return -1；
}

解答开篇


好了，现在我们来看开篇的问题：如何快速定位出一个IP地址的归属地？

现在这个问题应该很简单了。如果IP区间与归属地的对应关系不经常更新，我们可以预先处理这12万条数据，让其按照起始IP从小到大排序。如何来排序呢？我们知道IP地址可以转化为32位的整型数，所以我们可以将起始IP地址按照对应的整型值的大小关系，从小到大进行排序。

然后这个问题就可以转化为我们刚讲的第四种变形问题”在有序数组中，查找最后一个等于某个给定值的元素”了。

当我们要查找某个IP归属地时，我们可以先通过二分查找，找到最后一个起始IP小于等于这个IP的IP区间，如果在，我们就取出对应的归属地显示；如果不在，就返回未查找到。


内容小结


上一节说过，凡是用二分查找能解决的，绝大部分我们更倾向于用散列表和二叉查找树。即便是二分查找在内存使用上更节省，但是毕竟内存如此紧缺的情况并不多，那二分查找真的没什么用处了吗？

实际上，上一节讲的求”值等于给定值”的二分查找缺失不怎么会被用到，二分查找更适合用在”近似”查找问题，在这类问题上，二分查找的优势更明显。比如今天讲的这几种变体问题，用其他数据结构，如散列表、二叉树，就比较难实现了。

变体的二分查找算法写起来非常烧脑，很容易因为细节处理不好而产生bug，这些容易出错的细节有：终止条件、区间上下界更新方法、返回值选择。所以今天讲的内容你最好能自己实现一遍，对锻炼编码能力、逻辑思维、写出bug free代码，会很有帮助。

课后思考

我们今天讲的都是非常规的二分查找问题，今天的思考题也是一个非常规的二分查找问题。如果有序数组是一个循环有序数组，比如4,5,6,1,2,3。针对这种情况，如何实现一个求”值等于给定值”的二分查找算法呢？