上两节我们讲了二分查找算法。当时讲到，因为二分查找底层依赖的是数组随机访问的特性，所以只能用数组实现。如果数据存储在链表中，就真的没法用二分查找算法吗？
实际上，我们只要对链表稍加改造，就可以支持类似“二分”的查找算法。我们把改造之后的数据结构叫做“跳表”，也就是今天的主要学习内容。
跳表这种数据结构对比来讲，可能会比较陌生，因为一般的数据结构和算法书籍都不会将。但是它确实是一种各方面性能都比较优秀的动态数据结构，可以支持快速的插入、删除、查找操作，写起来也不复杂，甚至可以代替红黑树。
Redis中的有序集合（Sorted Set）就是用跳表来实现的。如果你有一定基础，应该直到红黑树也可以实现快速的插入、删除和查找操作。那redis为什么会选择用跳表来实现有序集合呢？，为什么不用红黑树呢？学完今天的内容，你就知道答案了。
对于一个链表来说，即便链表中存储的数据是有序的，如果我们要想在其中查找某个数据，也只能从头到尾遍历列表。这样查找效率就会很低，时间复杂度很高，是O(n)。
那怎样来提高查找效率呢？如果向下图那样，对链表建立一级索引，查找起来是不是就会快很多呢？每两个节点提取一个节点到上一级，我们把抽出来的那一级叫做索引或索引层。你可以看看我画的图，图中的down表示down指针，指向下一级节点。
如果我们现在要查找某个节点，比如16。我们现在索引层遍历，当遍历到索引中值位13的节点时，我们发现下一个节点是17，那要查找的节点16肯定就在这两个节点之间。然后我们通过索引节点的down指针，下降到原始链表，继续遍历。这个时候我们只需要在遍历两个节点，就可以找到值为16的节点了。这样，原来要查找16，需要遍历10个节点，现在只需要遍历7个节点。
从这个例子，我们看出，加了一层索引之后，查找一个节点需要遍历的节点个数减少了，也就是说查询效率提高了。那如果我们再加一层索引呢？效率会不会提高更多？
跟前面建立一级索引的方式类似，我们每两个节点都抽出一个节点到二级索引。现在我们再来查找16，只需要遍历6个节点，需要遍历的节点数量又减少了。
我举的例子数据量不大，所以即便加了两级索引，查找效率的提升也并不明显。我画了一个64个节点的链表，按照前面将的这种思路，建立了五级索引。
从图中可以看出，原来没有索引的时候，查找62需要遍历62个节点，现在只需要遍历11个节点，速度是不是提高了很多？所以，当链表的长度n比较大时，比如，1000、10000的时候，在构建索引后，查找效率的提升就会非常明显。
前面讲的这种链表添加多级索引的结构，就是跳表。我通过例子给你展示了跳表是如何减少查询次数的，现在你应该比较清晰的知道，跳表确实可以提高查找效率的。接下来，我会定量的分析一下，用跳表查询到底有多快。
前面我讲过，算法的执行效率可以通过时间复杂度来衡量，这里依旧可以用。我们知道，在一个单链表中查询某个数据的时间复杂度为O(n)。那么在一个具有多级索引的跳表中，查询某个数据的时间复杂度是多少呢？
这个时间复杂度的分析方法比较难想到，我把问题分析一下，先来看这样一个问题，如果链表里有n个节点，会有多少级索引呢？
按照我们刚才讲的，每两个节点会抽出一个节点作为上一级索引的节点，那第一级索引的个数大约为n/2个，第二级索引的节点个数大约为n/4，第三级节点个数大约为n/8，以此类推，也就是说，第k级索引的节点个数是第k-1级索引的节点个数的1/2，那第k级索引的节点个数为$\frac{n}{2^k}$。
假设索引有h级，最高级的索引有2个节点，通过上面的公式，我们可以得到$\frac{n}{2^k}$ = 2，从而求得$h=log_2(n-1)$。如果包含原始链表这一层，整个跳表的高度就是$log_2n$。我们在跳表中查询某个数据的时候，如果每一层都要遍历m个节点，那在跳表中查询一个数据的时间复杂度就是O($m*logn$)。
那么这个m的值是多少呢？按照前面这种结构，我们每一级索引都最多只需要遍历3个节点，也就是说m=3，为什么是3呢？我来解释一下。
假设我们要查找的数据是x，在第k级索引中，我们遍历到y节点之后，发现x大于y，小于后面的节点z，索引我们通过y的down指针，从第k级索引下降到第k-1级索引。在第k-1索引中，y和z之间只有3个节点（包含y和z），所以，我们在k-1级索引中最多只需要遍历3个节点，以此类推，每一级索引都最多只需要遍历3个节点。
通过上面的分析，我们得到m=3，所以在跳表中查询任意数据的时间复杂度就是O(logn)。这个查找的时间复杂度跟二分查找是一样的。换句话说，我们其实是基于单链表实现了二分查找，是不是很神奇？不过天下没有免费的午餐，这种查询效率的提升，前提是建立了很多级索引，也就是我们前面讲过的空间换时间的思想。
比起单纯的单链表，跳表需要存储多级索引，肯定要消耗更多的存储空间。那到底需要消耗多少额外的存储空间呢？我们来分析一下跳表的空间复杂度。
跳表的空间复杂度分析并不难，我在前面说了，假设原始链表大小为n，那第一级索引大约有n/2个节点，第二级索引大约有n/4个节点，以此类推，每上升一级就减少一半，知道剩下2个节点。如果我们把每层索引的节点数写出来，就是一个等比数列。
这几级索引的节点总和就是$n/2+n/4+n/8+…+8+4+2=n-2$。所以跳表的空间复杂度为O(n)。也即是说，如果将包含n个节点的单链表构造成跳表，我们需要额外再用接近n个节点的存储空间。那我们有没有办法降低索引占用的内存空间呢？
我们前面都是每两个节点抽取一个节点到上级索引，如果我们每三个节点或者五个节点，抽一个节点到上级索引，是不是就不用那么多索引节点了呢？我画了一个每三个节点抽取一个节点的示例图，你可以看下。
从图中可以看出，第一级索引需要大约n/3个节点，第二级索引大约需要n/9个节点。每往上一层，索引节点个数都除以3。为了方便计算，我们假设最高一级的索引节点个数为1，我们把每级索引的节点个数都写下来，也是一个等比数列。
通过等比数列求和公式，总的索引节点个数就是$n/3+n/9+n/27+…+9+3+1=n/2$。尽管空间复杂度还是O(n)，但比上面的每两个节点抽一个节点的索引构建方法，要减少了一半的索引节点存储空间。
实际上，在软件开发中，我们不必太在意索引占用的额外空间。在将数据结构和算法时，我们习惯性的把要处理的数据看成是整数，但是在实际的软件开发中，原始链表中存储的数据存储的很可能是很大的对象，而索引节点只需要存储关键值和几个指针，并不需要存储对象，所以当对象比索引节点大很多时，那索引占据的额外空间就可以忽略了。
跳表长什么样子我想你应该很清楚了，他查找操作我们刚才也讲过了。实际上，跳表这个动态数据结构，不仅支持查找操作，还支持动态的插入、删除操作，而且插入、删除操作的时间复杂度也是O(logn)。
我们现在来看下，如何在跳表中插入一个数据，以及它是如何做到O(logn)的时间复杂度的？
我们知道，在单链表中，一旦定位好要插入的位置，插入节点的时间复杂度是很低的，就是O(1)。但是为了保证原始链表中数据的有序性，我们需要先找到要插入的位置，这个查找操作就会比较耗时。
对于纯粹的单链表，需要遍历每个节点，来找到插入的位置，但是，对于跳表来说，我们讲过查找某个节点的时间复杂度是O(logn)，所以这里查找数据应该插入的位置，方法也是类似的，时间复杂度为O(logn)。我画了一张图，你可以很清晰的看到插入的过程。
跳表查找插入 跳表查找插入.jpg
好了，我们再来看删除操作。
如果要删除的节点在索引中也有出现，我们除了要删除原始链表中的节点，还要删除索引中的。因为单链表中删除操作还需要拿到删除节点的前驱节点，然后通过指针操作完成。所以在查找要删除的节点时，一定要获取前驱节点。当然，如果我们用的是双向链表，就不需要考虑这个问题了。
当我们不停的往跳表中插入数据时，如果我们不更新索引，就有可能出现某2个索引节点之间数据非常多的情况，极端情况下，跳表还会退化成单链表。
作为一种动态数据结构，我们需要某种手段来维护索引与原始链表大小之间的平衡，也就是说，如果链表中的节点多了，索引节点就相应的增加一下，避免复杂度退化，以及查找、插入、删除操作性能下降。
如果你了解红黑树、AVL树这样的平衡二叉树，你就知道他们是铜鼓片左右旋的方式保持左右子树的平衡，而跳表是通过随机函数来维护前面提到的平衡性。
当我们往跳表中插入数据时，我们可以选择将这个数据插入到部门索引层。如何选择加入到哪些索引层呢？
我们通过一个随机函数，来决定将这个节点插入到哪几级索引中，比如随机函数生成了值K，那我们就将这个节点添加到第一级到第k级索引中。
随机函数的选择很有讲究，从概率上讲，能够保证跳表的索引大小和数据大小平衡性，不至于性能过度退化。至于随机函数的选择，我就不展开讲了，如果你感兴趣的话，可以看看我在Github上代码或者redis中关于有序集合的跳表实现。
跳表的实现还是稍微有点复杂的，我将java代码放在了github上，你可以根据我刚刚的讲解，对照着代码思考一下，你不用死记硬背代码，跳表的实现并不是我们这节的重点。
今天的内容就完了。现在我们来看一下开篇的思考题：为什么redis中用跳表来实现有序集合，而不是红黑树。
Redis中的有序集合是通过跳表来实现的，严格来讲，其中来用到了散列表。不过散列表我们后面再讲，现在先忽略这部分，如果你去查看Redis的开发手册，就会发现，Redis中的有序集合支持的核心操作主要有以下这几个：
- 插入一个数据
- 删除一个数据
- 查找一个数据
- 按照区间查找数据
- 迭代输出有序序列
其中，插入、删除、查找和迭代输出有序序列这节操作，红黑树也能完成，时间复杂度跟跳表是一样的。但是按照区间来查找数据这个操作，红黑树的效率没有跳表高。
对于按照区间查找数据这个操作，跳表可以做到O(logn)的时间复杂度定位区间的起点，然后在原始链表中顺序往后遍历就可以了。这样做非常高效。
当然，Redis之所以用跳表来实现有序集合，还有其他原因，比如跳表更容易代码实现。虽然跳表的实现也不简单，但比起红黑树来说还是好懂、好些多了，简单就意味着可读性好，不容易出错。还有跳表更加灵活，他可以通过改变索引构建策略，有效平衡执行效率和内存消耗。
不过，跳表也不能完全代替红黑树。因为红黑树比跳表出现的要早一些，很多编程语言的Map类型都是通过红黑树来是实现的。我们做业务开发的时候，直接拿来用就可以了，不用费劲自己去实现一个红黑树，但是跳表并没有一个线程的实现，所以在开发中，如果你要是用跳表，必须要自己实现。
今天我们讲了跳表这种数据结构。跳表使用空间换时间的设计思路，通过构建多级索引来提高查询效率，实现了基于链表的二分查找。跳表是一种动态数据结构，支持快速的插入、删除、查找，时间复杂度都是O(logn)。
跳表的空间复杂度是O(n)，不过跳表的实现非常灵活，可以通过改变索引构建策略，有效平衡执行效率和内存消耗。虽然跳表的代码实现并不简单，但是作为一种动态数据结构，比起红黑树来说，实现要简单多了。所以很多时候，我们为了代码的简单、易读，比起红黑树，我们更倾向于跳表。
课后思考
在今天的内容中，对于跳表的时间复杂度分析，我分析了每两个节点抽取一个节点作为索引的时间复杂度，如果每三个或者每五个节点抽取一个节点作为上级索引，对应的在跳表中查询数据的时间复杂度是多少呢？